La divisione dei resti più vantaggiosa non è necessariamente la più probabile

p(3-3) = 35,53%, p(4-2) = 48,45%, p(5-1) = 14,53%, p(6-0) = 1,49%

Come si calcolano queste probabilità? Notazione :

• m-n : divisione dei resti non ordinata
• m,n : divisione dei resti ordinata (m carte a sinistra, n carte a destra)
• N.B.: p(n-n) = p(n,n),     m ≠ n ⇒ p(m,n) = p(n,m) = p(m-n)/2

Lo spazio campionario (casi possibili) è l'insieme delle estrazioni di 13 carte da 26 (ciascuna estrazione di una mano degli opponenti determina quella dell'altra mano)

• per il calcolo del numero di casi di ciascun evento m,n , con m+n=r, si moltiplica
• il numero di estrazioni di m carte da un insieme di r carte
• per il numero di estrazioni di 13-m carte da un insieme di 26-r carte
• il rapporto fra il numero suddetto e quello dei casi possibili dà la probabilità della divisione paritaria m-m, mentre il suo doppio dà la probabilità della divisione ineguale m-n. Nell'esempio:
• p(3-3) = , p(4-2) = , p(5-1) = , p(6-0) =

E1.1 Probabilità condizionata

La domanda posta a pag. 5 riguarda un'asserzione che vale più in generale: Sia S/≈ la partizione di uno spazio campionario S da una relazione di equivalenza ≈. Chiaramente, le classi di ≈-equivalenza sono eventi mutuamente incompatibili. Sia E l'evento unione di un insieme di tali classi del quale è nota l'impossibilità. Questa informazione riduce lo spazio campionario al complemento di E in S e fa crescere proporzionalmente le probabilità degli altri eventi, mantenendone i rapporti. Come si spiega questo in base alla definizione di probabilità condizionata? Qual è il fattore di proporzionalità per il quale crescono dette probabilità?

E1.2 Probabilità di divisioni dei resti

È utile sapere che, se in linea mancano r carte in un colore, la divisione dei resti più probabile è:

• se r=2k: la 1-1 se k=1, altrimenti la (k+1)-(k-1) con probabilità un po' minore del 50%
• se r=2k+1: la (k+1)-k, con probabilità superiore al 50%

Nei seguenti esempi: a) calcolare la probabilità della divisione dei resti nel caso più probabile;
b) determinare in tale caso il numero di prese certe nel colore.

Quando in un colore si hanno in linea la maggioranza delle carte e la testa del colore, ma manca un onore, occorre decidere se battere in testa o tentare l'impasse per la sua cattura

In assenza di altri indizi sulla collocazione dell'onore mancante:

• in alcuni casi la probabilità delle divisioni dei resti indica la decisione migliore
  • come negli esercizi E1.2.1, E.1.2.2
• in altri casi ciò non basta, come negli altri casi dell'esercizio E.1.2
  • serve conoscere le probabilità che l'onore sia secco o secondo o terzo ecc.

Notazione : p(n|m) = probabilità che l'onore mancante sia n-simo se mancano m carte

Fatti : p(n|2n)=p(n-n) ; p(n|n)=p(n-0) ; n+k=m, n>k>0 ⇒ p(n|m)+p(k|m) = p(n-k)

• N.B.: l'implicazione vale perché gli eventi n|m e k|m sono incompatibili
• in tal caso il rapporto fra le probabilità p(n|m), p(k|m) vale p(n|m)/p(k|m)=n/k

è dunque molto semplice calcolare le probabilità di divisioni dei resti con un onore mancante dalle probabilità delle divisioni dei resti, v. prossimo esercizio

E2.1 Calcolo semplificato delle probabilità di divisioni dei resti con un onore mancante

Spiegare perché valgono i primi due fatti enunciati sopra, e come il terzo giustifichi il seguente metodo di calcolo: n+k=m, n>k>0 ⇒ p(n|m) = (n/m)p(n-k), p(k|m) = (k/m)p(n-k)

E2.2 Rapporto fra probabilità di divisioni dei resti simmetriche con un onore mancante

Dimostrare che n+k=m, n>k>0 ⇒ p(n|m)/p(k|m)=n/k

Suggerimenti :
Generalizzare, usando le variabili m,n,k nelle ipotesi dell'antecedente dell'implicazione, il metodo impiegato negli esempi del testo allegato di A. Squellati, pp. 18-19, a una formula per il calcolo di p(n|m), quindi applicarla anche al calcolo di p(k|m), e infine semplificare il rapporto usando l'antecedente dell'implicazione e la nota proprietà di simmetria dei binomiali:

E2.3 Battere in testa o tentare l'impasse?

La probabilità a posteriori di un evento è valutata dopo l'arrivo di informazione che la modifica rispetto alla probabilità a priori, valutata prima

Per catturare il J, Nord batte i due onori e gli opponenti giocano cartine nel colore, quindi gioca il 10 ed Est risponde allo stesso modo: qual è il rapporto fra le probabilità che il J sia a Ovest o a Est?

• questo determina la convenienza probabilistica di giocare l'A subito o alla prossima presa

Correttamente, il testo argomenta che il gioco visto esclude gli eventi 6-0 e 5-1, e dimezza l'evento 4-2 poiché dalla terza cartina da Est si deduce che la divisione dei resti 4-2 è possibile solo se le 4 carte sono a Est. Gli eventi residui 3-3 e 4-2 fissano la posizione del J: a Ovest nella 3-3, a Est nella 4-2. Il calcolo che così ne risulta darebbe la probabilità a posteriori :

• p(J a Ovest) = p(3|6) = p(3-3) = 59,46% ,   p(J a Est) = p(4|6) = p(4-2) = 40,54%

Tuttavia, se si ragiona in base alle probabilità a priori delle divisioni dei resti con un onore mancante, usando il metodo semplificato di calcolo esposto nell'Esercizio E2.1, e si effettua il ricalcolo delle probabilità a posteriori p(3|6) e p(4|6), si ottiene un risultato diverso, v. Esercizio 3.1:

• p(J a Ovest) = p(3|6) = 52,38% ,   p(J a Est) = p(4|6) = 47,62%

Come mai? Sorge il sospetto che in uno dei due metodi di calcolo non si sia tenuto conto di tutta l'informazione che è possibile dedurre dalla dinamica del gioco osservata

Fissiamo inanzitutto un principio:

• la probabilità misura l'incertezza : il prodotto p(1-p) è massimo per p=0,5 (massima incertezza), si azzera per p=0 o p=1 (certezza)

Per sciogliere l'enigma, facciamo ricorso alla cosiddetta teoria dei posti liberi

• questo metodo è illustrato in Sez. 4.2 del testo di A. Squellati usando informazioni dalla licita, tuttavia mostriamo che si può applicare anche al caso in questione

Per valutare il rapporto fra le probabilità che l'onore mancante si trovi a Est o a Ovest, dopo il gioco della terza cartina da Est, consideriamo che:

• Est ha già mostrato 3 carte, gli restano 10 posti liberi per l'onore mancante
• Ovest ne ha mostrato 2, gli restano 11 posti liberi
• dunque p(J a Ovest)/p(J a Est) = 11/10

e in effetti 11/10 = 52,38/47,62, come dal secondo metodo nella pagina precedente

• Attenzione : la valutazione del rapporto dipende anche da quante prese sono state già effettuate e da quante altre carte dello stesso colore si suppone che si trovino nelle mani degli opponenti! Per esempio, se il caso in questione si presentasse alla fine:
• dopo 11 prese fatte, terza cartina da Est: p(J a Ovest)/p(J a Est) = 2/1
• Una ulteriore analisi di questo caso è proposta nel prossimo Esercizio 3.2

E3.1 Probabilità a posteriori

• Verificare che il ricalcolo delle probabilità a posteriori p(3|6) e p(4|6) nel caso discusso a pag. 12, usando il metodo semplificato esposto nell'Esercizio E2.1, dà i risultati lì indicati.
• Di quale informazione deducibile dalla dinamica del gioco osservata non tiene conto il primo metodo riportato a pag. 12?

E3.2 Probabilità di successo di una tattica

Nell'esempio discusso a pag. 12, la decisione di battere l'A dopo la terza cartina giocata da Est è una conferma della tattica iniziale di battere in testa i tre onori per catturare l'onore mancante.

• Qual è la probabilità a priori di successo di questa tattica, eseguita all'inizio del gioco?
• Qual è la sua probabilità di successo se viene eseguita alla fine, dopo 9 prese nelle quali non è stata giocata alcuna carta del colore?
• In confronto a quest'ultima, la probabilità di successo della tattica dopo il gioco della terza cartina da Est, valutata al 66,67% dato il suo rapporto 2/1 rispetto alla probabilità di fallimento, è aumentata o diminuita?

Le combinazioni di k elementi estratti da un insieme di n elementi, con k < n, sono semplici se senza ripetizioni, cioè i k elementi sono tutti distinti (come nelle estrazioni del Lotto)

• da qui la combinatoria ha preso il suo nome
• non ha importanza l'ordine in cui i k elementi sono stati estratti

quante sono? È il numero C(n,k) dei sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme di cardinalità n ... per calcolarlo richiamiamo due concetti, dove la qualifica “semplici” ha sempre lo stesso significato: elementi tutti distinti

• permutazioni semplici di n elementi: sono le n! sequenze di n elementi
• disposizioni semplici di k elementi da un insieme di n elementi: sono le D(n,k) sequenze di k elementi da un insieme di n, D(n,k) = (n)_k = n(n-1)...(n-(k-1)) = n!/(n-k)!

Per calcolare il numero di combinazioni semplici, definiamo una relazione di equivalenza sulle sequenze per ignorare l'ordine in cui vi compaiono gli elementi:

• due sequenze sono equivalenti se hanno gli stessi elementi, indipendentemente dall'ordine

applichiamo quindi la regola del pastore e introduciamo la notazione dei coefficienti binomiali :

• C(n,k) = D(n,k)/k! = n(n-1)...(n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)!

Perché si chiamano coefficienti binomiali?

• Sono i coefficienti dei monomi a^kb^n-k nell'espansione polinomiale di (a+b)ⁿ

Diamo per acquisite le definizioni di spazio campionario U e di evento E ⊆ U

• un evento è solitamente espresso da una proposizione, che elementi di U possono verificare o meno
• la proposizione esprime la proprietà caratteristica dell'evento

La probabilità di un evento si misura con il rapporto p(E) = |E|/|U|

• in uno spazio campionario finito, la probabilità p(E) di un evento E è sempre un numero razionale nell'intervallo [0,1], spesso espresso come percentuale

La probabilità, detta anche speranza matematica, misura il grado di (in)certezza sul verificarsi dell'evento, in un processo che progressivamente riduce l'insieme dei casi possibili, modificando le probabilità degli eventi

• la proposizione caratteristica di un evento E è così una congettura sul fatto che il processo renda prima o poi certo (un sottoinsieme di) E

Ai connettivi proposizionali che possono formare congetture corrispondono le operazioni insiemistiche sugli eventi; in particolare, alla negazione della proprietà di E, che esclude il verificarsi di E, corrisponde l'evento complementare E = U\E, con p(E) = 1-p(E)

• il prodotto p(E)·(1-p(E)) misura il grado di incertezza sull'esito fra le due alternative: nullo agli estremi (p(E)∈{0,1}), massimo al centro (p(E) = 0,5)

Quanto può influire sulla probabilità di un evento E1 l'informazione dell'essersi verificato un altro evento E2?

• E2 è diventato un evento certo, con probabilità 1, dunque:
• E2 è il nuovo spazio campionario
• gli elementi di E1 che non appartengono a E2 sono da escludere
  • la proposizione che caratterizza E1 non cambia,
  • l'insieme che la verifica diviene E1∩E2

La probabilità condizionata p(E1|E2) di E1 rispetto a E2, con p(E2)>0, è definita da

• p(E1|E2) = p(E1∩E2)/p(E2)

Definizione : E1 è indipendente da E2 se p(E1|E2) = p(E1)

Fatto : su eventi di probabilità non nulla, la relazione di indipendenza è simmetrica, ovvero p(E1|E2) = p(E1) ⇔ p(E2|E1) = p(E2)

• discende dalla definizione di probabilità condizionata, per la commutatività di ∩

Fatto : se E1 ed E2 sono eventi indipendenti, allora p(E1∩E2) = p(E1)·p(E2)

• conseguenza immediata delle due precedenti definizioni