Macchine da calcolo: unità funzionali, architetture.
Aritmetica Maya

Lezione 02 di Architettura degli elaboratori

Docente: Giuseppe Scollo

Università di Catania
Dipartimento di Matematica e Informatica
Corso di Laurea in Informatica, I livello, AA 2012-13

argomenti della lezione

in questa lezione si trattano:

tipi di calcolatori
componenti funzionali
concetti operativi di base
prestazioni del calcolatore
aritmetica Maya:
- numeri e calcoli nella cultura Maya
- operazioni aritmetiche sull'abaco Maya
- conversione di base sull'abaco Maya

riferimenti (1)

capitolo 1 del testo di riferimento, paragrafi 1.0-3 e 1.6

ad accesso riservato:

presentazione: cap. 1, pp. 2-13 e 33
esercizi

Aritmetica Maya

l'abaco Maya: algoritmi manipolativi di calcolo

abaco Maya

rappresentazione vigesimale dei numeri (posizionale in base 20)
forma additiva e ostensiva delle cifre

cifre Maya

costituenti delle cifre Maya:

caracol: zero
frijolito o maisito: unità
palito: cinquina

semplice conversione decimale
moltiplicazione "senza tabellina"
- nonché divisione, radice quadrata, ...
H.M. Calderón, La Ciencia Matemática de los Mayas, Editorial Orion, México, D.F., 1966.

operazioni aritmetiche additive sull'abaco Maya

due semplici regole di equivalenza di gruppi di oggetti sull'abaco:

5 unità ↔ 1 cinquina (nella stessa posizione)
4 cinquine ↔ 1 unità in posizione adiacente più significativa

algoritmi manipolativi:

addizione: mettere assieme gli oggetti di uguale significatività e applicare le regole di equivalenza per la riduzione in cifre
- (+) funziona egualmente per la somma di più di due addendi!
- (+) non prescrive ordine di esecuzione per significatività
  → parallelismo
sottrazione: estrarre una copia del sottraendo dal minuendo, usando se serve le regole di equivalenza per formare la copia

regole e algoritmi del tutto simili per la rappresentazione decimale: basta rimpiazzare ‘4’ con ‘2’ nella seconda regola di equivalenza

v. per esempio il simulatore OperAbacoMaya

conversione di base sull'abaco Maya

conversione fra base 20 e base 10:

si può effettuare secondo un algoritmo generale di conversione di base, come illustrato nel simulatore AbacoMaya
oppure si può usare l'algoritmo R, escogitato da Bruna Radelli:

abaco con numero Maya in colonna, da convertire in base 10

delimitazione della riga in basso per il risultato della conversione

discesa e duplicazione della cifra Maya in seconda posizione

conversione decimale della cifra Maya in seconda posizione

prima discesa e duplicazione della cifra Maya in terza posizione

seconda discesa e duplicazione della cifra Maya in terza posizione

conversione decimale della cifra Maya in terza posizione, fine

algoritmo R

di tipo manipolativo sull'abaco, con le note regole di equivalenza
spostamento di oggetti lungo le diagonali secondarie
raddoppio/dimezzamento a ogni passo lungo tali diagonali
applicazione delle regole della base di partenza o di quella di arrivo determinata dalla corrispondente direzione di adiacenza fra caselle (conviene scegliere quella della base di arrivo: perché?)

moltiplicazione sull'abaco Maya

si può moltiplicare senza la tavola pitagorica, con gli operandi lungo due lati ben scelti dell'abaco, come nel modo “alla musulmana”: e.g. 1025 x 521

moltiplicazione alla musulmana
con cifre Maya decimali

abaco 3x4 vuoto con diagonali secondarie

significatività delle caselle triangolari costante lungo diagonali secondarie
semplici regole per costruire il prodotto di due cifre, sommando i prodotti delle coppie di oggetti
esecuzione parallela dei prodotti delle coppie di cifre ...
quindi delle somme parziali (lungo le diagonali secondarie) ...
e delle riduzioni in cifre del risultato finale

divisione sull'abaco Maya

si può procedere per sottrazioni successive del divisore dal dividendo

tenendo conto della significatività delle cifre

a ogni passo:

si colloca nella colonna della cifra del quoziente da calcolare la porzione rilevante del
- divisore, nel passo iniziale
- ciò che ne resta dalle precedenti sottrazioni, nei passi successivi
si sottrae il divisore dal numero posto in colonna, finché ciò che ne resta è minore del divisore
il numero di sottrazioni effettuate è la cifra del quoziente nella posizione della colonna

divisione con cifre Maya decimali