rappresentazione posizionale in base 2 (cioè: con 2 cifre) dei numeri naturali

• significatività della posizione:
  sequenza delle potenze intere della base, a partire da 0, crescente verso sinistra
• introducendo la "virgola binaria", e le potenze ad esponente intero negativo della base per la significatività alla sua destra, si ottiene una rappresentazione binaria dei numeri razionali (non negativi)

rappresentazioni in una base che sia una potenza intera di 2 rendono più compatta la rappresentazione binaria, per la semplicità della conversione di base in tal caso, ad es.:

• rappresentazione ottale (b = 8 = 2³):
  • ogni cifra (0,...,7) rappresenta una sequenza di 3 bit
• rappresentazione esadecimale (b = 16 = 2⁴):
  • ogni cifra (0,...,9,A,B,...,F) rappresenta una sequenza di 4 bit

gli algoritmi per le operazioni aritmetiche nella rappresentazione posizionale decimale si generalizzano facilmente alla rappresentazione posizionale in una qualsiasi base b > 1

esempi:

• ecco l'addizione di due numeri nella rappresentazione binaria naturale
  (in parentesi è indicato il riporto):

somma binaria naturale di 9 e 13

• la moltiplicazione binaria può risultare un po' scomoda, per la numerosità dei prodotti parziali da sommare (conviene scegliere il moltiplicatore col minor numero di 1):
  
  

prodotto binario di 13 e 9

come effettuare la conversione quando una delle basi non è una potenza intera dell'altra?

occorre distinguere due casi:

• dalla base minore a quella maggiore:
• si applica la definizione di rappresentazione posizionale, eseguendo prodotti e somme nella rappresentazione in base maggiore
• esempio : 11010₂ = (0⋅2⁰+1⋅2¹+0⋅2²+1⋅2³+1⋅2⁴)₁₀ = (2+8+16)₁₀ = 26₁₀
• dalla base maggiore a quella minore:
• si itera la divisione, del numero dato e dei quozienti via via ottenuti, per la base minore, nella rappresentazione in base maggiore, fino a ottenere il quoziente zero
• la sequenza dei resti ottenuti, rappresentati nella base minore, dà il risultato della conversione, con significatività crescente delle cifre nell'ordine in cui si ottengono
• esempio : determiniamo la rappresentazione binaria naturale di 43₁₀
• siano q_i, r_i rispettivamente i quozienti e i resti delle progressive divisioni per 2:
• 

  43₁₀ = 101011₂

il segno di un numero intero può assumere due valori, dunque una plausibile rappresentazione binaria degli interi si ottiene adoperando

• la rappresentazione binaria naturale per il valore assoluto del numero
• un bit per la rappresentazione del segno

in tal modo con n+1 bit si possono rappresentare gli interi nell'intervallo [-(2ⁿ-1), 2ⁿ-1]

tale rappresentazione ha due inconvenienti:

• lo zero ha due distinte rappresentazioni
• le operazioni di addizione e sottrazione hanno algoritmi distinti

soprattutto il secondo inconveniente risulta oneroso, perché complica la realizzazione dei circuiti aritmetici elementari dei calcolatori

• la rappresentazione in complemento a 2 risolve entrambi i problemi, ed è oggi largamente in uso

il bit più a sinistra rappresenta il segno: 0 = +, 1 = -

la rimanente sequenza di n bit rappresenta

• se il numero è positivo o nullo: il suo valore assoluto nella rappresentazione binaria naturale
• se il numero è negativo: 1 + il complemento della rappresentazione binaria naturale del valore assoluto (se < 2ⁿ)

esempi:

• 25₁₀ = (00011001)₂ ; -25₁₀ = (11100111)₂
• 0₁₀ = (00000000)₂
• 1₁₀ = (00000001)₂ ; -1₁₀ = (11111111)₂
• 127₁₀ = (01111111)₂ ; -127₁₀ = (10000001)₂; -128₁₀ = (10000000)₂

con n+1 bit si possono così rappresentare gli interi nell'intervallo [-2ⁿ, 2ⁿ-1]

la somma algebrica si esegue come la somma naturale, bit di segno inclusi, e trascurando l'eventuale riporto oltre il bit di segno

esempio: 25₁₀−12₁₀ = 25₁₀ + −12₁₀ = (00011001)₂ + (11110100) ₂ = (00001101)₂ = 13₁₀

la conversione dalla rappresentazione binaria in complemento a 2 a quella decimale si esegue con essenzialmente lo stesso algoritmo:

• se il bit di segno è 0, il numero è positivo, quindi si effettua la conversione naturale del valore assoluto
• se il bit di segno 1, il numero è negativo, quindi
  • si complementa il resto della sequenza binaria
  • si aggiunge 1
  • si effettua la conversione naturale del valore assoluto così ottenuto

esempi:

• (01011000)₂ = 88₁₀
• (11011000)₂ = −(0100111 + 1)₂ = -(0101000)₂ = -40₁₀

rappresentazione in complemento a 1:

• come quella in complemento a 2, eccetto per il "+1"
• non ha i vantaggi di quella in complemento a 2
• di interesse meramente storico (ad es., mainframe Univac degli anni '60-'70), praticamente abbandonata

rappresentazione in eccesso 2ⁿ (con n bit per il valore assoluto):

• come quella in complemento a 2, eccetto che il valore del bit di segno è opposto
• ha gli stessi vantaggi di quella in complemento a 2
  • attenzione, però, al bit di segno nella somma algebrica...
    che succede?
• perché è detta "in eccesso 2ⁿ"...

problema 1: la rappresentazione dei numeri razionali è finita, ma non limitata

• questo vale anche per i numeri interi...

problema 2: i numeri reali non hanno rappresentazione finita

• precisamente, ciò vale per i numeri irrazionali

è desiderabile, per la celerità di esecuzione delle operazioni aritmetiche in tali campi, disporre di una rappresentazione binaria di lunghezza fissa

• soluzione: rappresentazioni approssimate

in virgola fissa : sia la parte intera che quella frazionaria hanno lunghezze fisse

• precisione assoluta prefissata

in virgola mobile (ingl.: floating point) : lunghezze fisse di mantissa intera ed esponente intero di una base b prefissata (di solito b = 10):  R = M ⋅ b ^E

• precisione relativa prefissata
• spesso si rappresenta la mantissa in complemento a 2, e l'esponente in eccesso 2ⁿ

una semplice rappresentazione binaria di un testo consiste nella sequenza delle rappresentazioni binarie dei suoi caratteri, secondo un dato codice di rappresentazione

• quest'ultimo è una funzione iniettiva che associa ad ogni carattere dell'alfabeto A del testo una sequenza di n bit, con |A| ≤ 2ⁿ

alfabeto: caratteri stampabili + caratteri di controllo

• codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange):
  a 7 bit, + ottavo bit per varianti locali

la diffusione dell'informatica ha fatto emergere l'esigenza di codici più ricchi, per rappresentare testi in tutte le lingue (segni diacritici, alfabeti diversi da quello inglese, linguaggi di scrittura ideografica, etc.)

• famiglia di codici ISO 8859-x : a 8 bit, estensioni del codice ASCII
• codice ISO/IEC 10646 (UCS: Universal Character Set ): "universale", base per i codici (a 16 bit) Unicode, UTF-8
• sono allo studio estensioni di Unicode (attualmente: a 20 bit)

• 8 kHz (ovvero un campione ogni ottavo di millesimo di secondo) è una frequenza adeguata alla riproduzione del parlato
• per la riproduzione musicale di alta fedeltà la frequenza sale a 44.1 kHz

il valore di ampiezza di ogni campione è codificato con 16 bit (32 se stereo)

la codifica MIDI (Musical Instruments Digital Interface) è ben più parsimoniosa: rappresenta non il suono bensì l'informazione per la sua produzione da un sintetizzatore, ad es.: strumento emulato, altezza della nota, durata

tecniche bitmap :

• l'immagine è discretizzata in una matrice di pixel (picture's element )
• la matrice è sequenzializzata dal basso verso l'alto e da sinistra a destra
• ciascun pixel è rappresentato da
  • 1 bit per immagini in bianco e nero
  • una sequenza di bit per immagini a colori o con più livelli di grigio
• la codifica del colore, basata sulla composizione cromatica di tre colori fondamentali, ad es. RGB (Rosso, Verde, Blu), richiede 3n bit per pixel, dove n è il numero di bit per la codifica del livello di ciascun colore fondamentale
• la risoluzione indica la precisione della discretizzazione dell'immagine, ma è espressa da grandezze diverse in contesti diversi, ad es.:
  • dimensioni della matrice, in n. di pixel (ad es. 640X800)
  • densità dei pixel, ad es. pixel/mm, in ciascuna direzione

tecniche vettoriali:

• molto più efficienti delle rappresentazioni bitmap, specialmente per alcune classi di immagini (diagrammi, glifi tipografici, etc.)
• vantaggiose anche rispetto alla variazione di scala dell'immagine

Rappresentazione di caratteri tipografici
I codici standard per la rappresentazione dei testi si limitano a fornire una codifica univoca ad ogni simbolo degli alfabeti considerati, e in generale prescindono dalla rappresentazione grafica dei simboli quali caratteri tipografici. Questo aspetto attiene alla rappresentazione di una particolare classe di immagini, i glifi (ingl. font) tipografici, frequentemente disponibili sia in forma bitmap che vettoriale. Quest'ultima ben si presta alla variazione di scala dei glifi. Ulteriori approfondimenti del tema possono riguardare il rapporto fra rappresentazione dei glifi e caratteristiche (quali, ad es., risoluzione, resa dei colori, etc.) dei dispositivi di visualizzazione e/o stampa dei testi.